温和地走进量子力学的凉夜
来体验量子力学那迷人的发展史
话说19世纪末，人们对光的本质争论不休——它究竟是粒子还是波？各家自有其说法，更重要的是，都能拿出大量的实验事实来支撑自己的理论。
而在”波粒之争”的另一端，量子力学的雏形刚刚显现。物理学家 普朗克 在研究微观世界时，提出了一个颠覆性的理论，同时也得出了一些著名的公式，例如电磁波的能量和动量关系：
$$ E=\hbar \nu \\ p=\hbar / \lambda $$这两个公式看似与波粒之争毫无关联，却被一个名为 德布罗意 的年轻人牵了红线。
物质波的诞生
德布罗意提出了一个极其大胆的想法：既然电磁波有波长，为什么实物粒子就不能有波长呢？
于是他硬生生将普朗克的公式换了过来，直接给出了 物质波 的计算公式：
$$ \lambda = h / p $$学哲学的人似乎总在思想上比别人更抽象一些。德布罗意的猜想一经提出，便轰动了整个物理学界，人们纷纷想尽办法来验证这个猜想的正确性。
而后面的 薛定谔，则利用这个猜想推导出了那个名垂千古的方程。
波动方程的诞生
在当初，人们对于光的本质的争执最终得出了光的波粒二象性。也就是说，你在某些情况下可以把它理解为粒子，运用传统的几何光学；在某些情况下也可以把它看成波，用已经建立好的波动学理论。
对于一个向右传播的简谐波，人们很早就知道可以表达为以下形式：
$$ \Phi (x,t) = e^{i(kx-\omega t)} $$而根据普朗克公式我们又知道：
$$ E = \hbar \omega \qquad p = \hbar k $$代入波的表达式中，就得到如下式子：
$$ \Phi (x,t)=e^{\frac{i}{\hbar} (px-Et)} $$薛定谔对这个式子运用了一些数学技巧——求导，从而得到了动能和总能量 $E$ 的表达式：
$$ \frac{\partial \Phi}{\partial t} =- \frac{i}{\hbar} E \Phi \\ ~~ \\ \frac{\partial ^2 \Phi}{\partial x^2} = - \frac{2m}{\hbar ^2} \frac{p^2}{2m} \Phi $$看，能量 $E$ 和动能 $\dfrac{p^2}{2m}$ 就这样被我们逼出来了！
而根据能量恒等式：
$$ \text{总能量 } E = \text{动能 } \frac{p^2}{2m} + \text{势能 } V $$代入化简得到：
$$ \hbar i \frac{\partial \Phi}{\partial t} = - \frac{\hbar ^2 }{2m} \frac{\partial ^2 \Phi}{\partial x^2} + V\Phi $$这就是著名的含时薛定谔方程！ 它是宇宙永远满足的定理。
$\Phi$ 究竟为何物？
方程是推出来了，但 $\Phi$ 这个波函数到底代表什么呢？
波恩 给出了他的回答：
$\Phi$ 本身并没有什么意义，它只是一种概率幅；但是 $|\Phi|^2$ 却有着明确的物理含义——代表空间某点、某个时刻的概率密度。
啊，概率密度！于是我们就可以很自然地得出这样的结论：任一时刻，全空间的概率积分为 1。
这也就给出了归一化表达式：
$$ \int_{-\infty}^{+\infty} \Phi(x,t)\,dx=1 $$更有趣的是，我们还可以从中发现 干涉现象：
$$ |\Psi_1 + \Psi_2|^2 = |\Psi_1|^2 + |\Psi_2|^2 + \underbrace{\Psi_1^* \Psi_2 + \Psi_2^* \Psi_1}_{\text{干涉项}} $$这个干涉项完美地解释了为什么电子一个一个发射，最后却能在屏幕上打出明暗相间的干涉条纹！微观世界的奇妙，莫过于此。
定态薛定谔方程
更为神奇的是，物理学家们发现 $\Phi(x,t)$ 竟然真的可以将变量 $x$ 和 $t$ 分离，最终写为：
$$ \Phi(x,t)=\Phi(x) \Phi(t) $$而这个 $\Phi(t)$，竟是一个 恒定的值：
$$ \Phi(t)=e^{i \frac{E}{\hbar} t} $$于是我们很多时候就可以专门研究定态问题，它的薛定谔方程相对简洁：
$$ \hat{H} \Phi = E \Phi $$其中 $\hat{H}$ 被称为能量算符，也称为哈密顿算符。
从这往后，量子力学便迎来了它的辉煌发展。薛定谔、海森堡、狄拉克、玻尔……许多伟大的物理学家在这里贡献了自己的智慧，逐步构建起这座宏伟的理论大厦。
而这一切的起点，不过是一个年轻人对”粒子为什么不能也有波长”的好奇而已。